������������� ������ ���

�.�.-�.�. ������ ����� (aka Leng)
���������� ��������������� �����������
������ 2005

������������� ������ ��� (���������� ���� ���� ������� ������ ������ ����) �� ����� ���� �� ������ ���������� �� ������������� ������� ��� ���� �� ����. ������������� ���� �� �� ��������� ���������� �������� ��������� ������� ������ ���������� ������� � ����������� ���������� ���� - �� ������ �� ���� �������� � �������� ������� �������������. ����� ������� ��� ���� ����� ����� ������������ ������ ���� ��� ���������� ��������:

1) �� ������ ��������� � ����������� ���������� ������� �������� � ����, ���������� ������� � ����������� ���������� ���� ��� ������� ������.

2) ����� ������� ��������� �������� ���� (����������� �������), ������������ ��� ��������� �� �������� � ����������� ���������� ������� ������.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1) �������� ������� � �������� ������� ���� ���� �� ��������� ������ � ���� ��������� ������� �������� ������� �������������� ������� ��� �������.

�����   x   - ���� ������� ������ ����,   y   - ���� ������� ������ ����. ��������, ��� � ������ ����� ���� ������ ��������������� ���������� �������������� � �������   mu   � ����������   sigma   (���   mu   - �������� ��������, �   sigma   - ����������� ���������� ������). ������ ����� (�������) � ��������� (����������� ����������) ����������� ������������� ���������������� ���� ����:

xi = (x+y)/2

mu = M(xi)   - ����������� ��������� ��������   xi  

sigma^2 = D(xi)  = M((xi-M(xi))^2)  = M(xi^2)-M(xi)^2   - ��������� ��������� ��������   xi  

M(xi) = int(xi*p(xi),xi = -infinity .. infinity)  = int(int((x+y)/2*p(x)*p(y),x = -infinity .. infinity),y = -infinity .. infinity)  = Int(Int((x+y)/2*exp(-(x-mu[1])^2/2/(sigma[1]^2))/sqrt(2*Pi*sigma[1]^2)*exp(-(y-mu[2])^2/2/(sigma[2]^2))/sqrt(2*Pi*sigma[2]^2),x = -infinity .. infinity),y = -infinity .. infinity)  = (mu[1]+mu[2])/2  

M(xi^2) = int(xi^2*p(xi),xi = -infinity .. infinity)  = int(int(((x+y)/2)^2*p(x)*p(y),x = -infinity .. infinity),y = -infinity .. infinity)  = Int(Int(((x+y)/2)^2*exp(-(x-mu[1])^2/2/(sigma[1]^2))/sqrt(2*Pi*sigma[1]^2)*exp(-(y-mu[2])^2/2/(sigma[2]^2))/sqrt(2*Pi*sigma[2]^2),x = -infinity .. infinity),y = -infinity .. infinity)  = ((mu[1]+mu[2])/2)^2+(sigma[1]^2+sigma[2]^2)/4

������ ������������ ��������, ��� ���� �������� ������� ( mu[1]   �   mu[2] ),  � ����� �� ����������� ���������� ( sigma[1]   �   sigma[2] ) �� ����� ��������� ������� ( mu ) � ����������� ���������� ( sigma ) ���� �� ��������:

mu = (mu[1]+mu[2])/2                       (1)

sigma = sqrt(sigma[1]^2+sigma[2]^2)/2             (2)

2) ����� ����������� �������� ��� ���������� ��������� �������� ���� ������������ � ��������� ��������� � ����������� ���������� ������� ����. ����� ������ ��� ��� ���������� ������ ���������� ������� ����������� �������� �� ���������� ������ � ����:

mu[new]-mu[old]   ~   sigma[old]^2        (3)

����� �������� �� ������������� ��� ����������� (3) ����������� ��� ��� ��������� ��������� ��� ��� � ��� ��������� �������������� �������� ���������

Delta*mu = sigma[old]^2*K ,     Delta*mu[1] = sigma[1,old]^2*k ,      Delta*mu[2] = sigma[2,old]^2*k  

���������� (1) � (2) � ������ �� ��������� ������ �������:

(mu[1,new]+mu[2,new])/2-(mu[1,old]+mu[2,old])/2 = K*(sigma[1,old]^2+sigma[2,old]^2)/4

(Delta*mu[1]+Delta*mu[2])/2 = K*(sigma[1,old]^2+sigma[2,old]^2)/4

k*(sigma[1,old]^2+sigma[2,old]^2)/2 = K*(sigma[1,old]^2+sigma[2,old]^2)/4

k = K/2

������ �������

Delta*mu[1] = sigma[1,old]^2*K/2 ,      Delta*mu[2] = sigma[2,old]^2*K/2

mu[1,new] = [2*sigma[1,old]^2/(sigma[1,old]^2+sigma[2,old]^2)]*(mu[new]-mu[old])+mu[1,old]

mu[2,new] = [2*sigma[2,old]^2/(sigma[1,old]^2+sigma[2,old]^2)]*(mu[new]-mu[old])+mu[2,old]

����� ������������ ������ ��� ��������� (������������ ����������) - ����������� ����� ������, ������� ����� �� ��� ��������� �� �����. ������ ������ ���������:

��� �������� ����������� ���������� ��� ��� ��������� ��� ��� � ��� �������������� ��������� - ����������� �����������

sigma[new]/sigma[old] = sigma[1,new]/sigma[1,old]  = sigma[2,new]/sigma[2,old]

�������������

sigma[1,new] = [sigma[new]/sigma[old]]*sigma[1,old]

sigma[2,new] = [sigma[new]/sigma[old]]*sigma[2,old]

� ����������